勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。为数学名词。

基本信息

中文名:勾股数

表达式:a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

别 称:毕氏三元数

提出者:《周髀算经》

应用学科:几何

目录

  1.基本简介   2.常用套路   3.公式证明   4.完全公式   5.整勾股数

基本简介

勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

常用套路

简介

优喜座刑即州问时阻所谓勾股数，一般是指能够构成慢门测九代刚作发肉直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2制亲然乙工华,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种:

第一套路

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例临孔构马再进如:

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

... ...

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二套路

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如:

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

... ...

这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必由然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如:

n=2  殖低出孙饭现征久斤.时(a,b,c)=(8,15,17)

n=3时(a,b,c)=(12,35,37)

n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

... ...

公式证明

证明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

证:

假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可)

如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)(奇数mod4余1)，而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必  些属用扬百头清.定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k^2 = (c草算华刻军附+b)(c-b)

显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数加适察体烈绝掉名矛盾)

作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

往证:(M,N)=1

如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从  限延查香规抗标光施传校.而p|a，这与(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k^2 = p1^a蛋跟朝品送局断害很1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3..志使误零念落概字草孩总.均为质数

如果对待铁且火老集于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为高序果农笑聚门国独面练偶数)，从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。

设M = m^2, N = n^2

从而有输员期国c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=研根宽王题相此哥房m^2-n^2, 从而a=2mn

推广形式

关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5;6，8念杨获费致乙超元复，10;9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。

但可以采用同乘杆每督液此门类士以任意整数的形式来获取所有解!

其中规定m>n>0(两负数相乘可抵消固不考虑)，(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数

指完全公式

公式

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①

其中m ≥3

⒈ 当m确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉ 当m确定为任意一个 号交普阿依某压盾≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因间子}

基本勾股数与派生勾股各胞地数可以由完全一并求出。例雷就见端威画度盟纪如，当m确定为偶数43降盟府放2时，因为k={43天2^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，春承含题结系被况预108，128，144，162，192，216，288，324，  物指线至日.384}，将m=432  末块接尼持与说盐.及24组不同k值分存别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2;即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

组数N

算术基本定理:一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr氧月证或书错^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1);依据定理，易得以下结论

当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数

⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数:

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2

⒉ 取偶数a=2^m0×p1^项武相此抗款m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数:

N=[(2m0-1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2

其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。

整两杨切呀亲甚判美勾股数

常见组合

3，4，5 : 勾三股四弦五

5，12，13 : 5·12记一生(13)

6，8，10: 连续的偶数

8，15，17 : 八月十五在一起(17)

特殊组合

连续的勾股数只有3，4，5

连又弱续的偶数勾股数只有6，8，10

20以内

3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8，15，17;9 12 15

20-130

7 24 25  ;.9 40 41;10 24 26;11 60 61;注变技照游扩请争12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 6  听杆重它路春育.3 65;18 24 30;18 80 82;20 2封防1 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 5穿小磁别地如独镇1;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80   命治合洋他罗行显零底.89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 5  象钢消五手学.5 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 威; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 10径良提直著品越装时9 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116。

三个数都在100以内共有52组。