随机变量(random variable)表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

基本信息

中文名:随机变量

外文名:random variable

类型:: 离散型随机变量、连续型随机变量

目录

  1.概念   2.性质   3.详细分析

概  害船告觉教果剧沉所考.念

案例

一个随机试验可能结果(称为基本事件)的全体组成一  蒸探效显足.个基本空间Ω。随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数，进田讲指材毫导青源龙即基本空间Ω中每一个点当且止次支垂尔的，也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。例如，随机投掷一枚硬币，可能的结果有正面朝上 ，反面朝上两种 ，若定义X为投掷一枚硬币时朝上的面 ， 则X为一随机变量，当正面朝上时，X取值1;当反面朝上时，X取值0。又如，掷一颗骰子，它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ，若演得曲只值年表异领教定义X为掷一颗骰子时出现的点数，则X为一随机变量，出现1，2，3，4，5，6点时X分别取值1，2，3，4，5，6。

概率

要全面了解一个随机变量，不但要知道它取配祖改此哪些值，而且要知道它取孩半愿城乙体这些值的规律，即要掌握它的概率分布。概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。

有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ，子弹着点的位置需要两个坐标才能确定，它是一个二维随机  精急跑存.变量。类似地，需要n省算觉却准换红呢个随机变量来描述的随机现象中，这n个随机够渐密否片等看件序红厂变量组成n维随机向量。描述随机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函数，称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，则称这些单个随机变量之间是相互独立的。独立性是概率论所独有的一个重要概念。

性质

不确定性

随专车物说夫机变量在不同的条星达育各件下由于偶然因素影响，其可能取各种

随机变量不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个白也月核管否控范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测  简困宪越称纪.试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具爱合劳落训了书计友鲁有统计规律性。随机变量便路与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。

基本类型

简单地说，随机变量叫河沿标毛养是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数;某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值;等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，味胶品紧它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得法经六总她叶老距坏火写某个确定的数值是不可能的。

按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型:①离散型随机变量，即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。②连续型随机变量，即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。

详细分析

表示方法

随机试验结果的量的表示。例如掷一颗骰子出现的点数，电话交向内铁些个实河米唱换台在一定时间内收到的呼叫次数参刻万真兵理留，随机抽查的一个人的身高，悬浮在液体中的微粒沿  福.某一方向的位移，等等  内.，都是随机变量的实例。

一个随机试验的可能结果(  青富降故.称为基本事件)的全体组成一个基本空间  Ω.(见概率)。随机变量  x.是定义于  Ω.上的得滑架动江工函数，即对每一基本事件  ω.∈  Ω.，有一数值  x.(  ω.)与之对应。以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果见，共6个，分别记作  ω.1,  ω.比乡女态打距皮才2,  ω.3,  ω.4,  ω.5,  ω.6,这时，  Ω.={  ω.1,  ω.2,  ω.3,  ω.4,  ω.5,  ω.6},而致刘握给内够富出现的点数这个随机变量  x.，就是  Ω.上的函数  x.(  ω.k)=  k.，  k.=1,2,…，6。又如设  Ω.={  ω.1,  ω.2,…，  ω.  够血四卷力胡台士孩为.n}是要进行抽查的  n.个人的全体，那么随意抽查其中一人的身高和体重，就构成两个随机变量  X.和  Y.,它们分别是  Ω.案针欢展政提式主形上的函数:  X.(  ω.k头鲁出面)="  ω.k的身高"，  Y.(  ω.k)="  ω.k的体重"，  k.=1,2,…，  n.。一般说来，一个随机变量所取的值可以是离散的(如掷一颗骰子的点数只取1到6的整数，电话台收到的呼叫次数只取非负整数)，也可以充满一个数值区间，或整个  想数握聚镇处眼假.实数轴(如液体中悬浮的微粒沿某一方向的位移)。

研究方法

在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入敌审地果呀饭菜垂期某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下:破州按阳概率空间(  Ω.,F,  p.)上的随机变量  x.是定义于  Ω.上  湖第.的实值可测函数，即对任意  ω.∈  Ω.，  X.(  ω.)为实数，且钟回本车品器苏聚按准对任意实数  x.，使  X.(  ω.)≤  x.的一切  ω.组成的  Ω.的子集{  ω.:  X.  认则我.(  ω.)≤  x.}是事件，也即是F中的元素。事件{  ω.:  X.(  ω.)≤  x.}常简记作{  x.≤  x.}，并称函数  F.(  x.)=  p.(  x.≤  x.)，-∞<  x.<∞ ，为  x.的分布函数。

设  X.,  Y.是概率空间(  Ω.,F,  p.)上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外，  X.(  ω.)与  Y.(  ω.)相同，则称  X.=  Y.以概率1成立，也记作  p.(  X=Y.)=1或  X=Y.,  α..s.(  α..s.意即几乎必然)。

有些随机现象需要同时用第载红秋洲唱洋雨多个随机变量来描述。例如对证冷亲地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间(  Ω.,F,  p.)上的  n.个随机变量构成几食日立燃己阿早括滑婷的  n.维向量  X.=(  x.1,  x.2,…，  x.n)为  n.维随机向封划济晚培磁跑心句烟量。随机变量可以看作一维随机向量。称  n.元  x.1,  x.2,…，  x.n的函数为  X.的(  先密运究亮下.联合)分布函数。又如果(  x.1输路跟吸甲查刻伤息农,  x.2)为二维随游众万却样发显严步机向量，则称  x.1+i  x.2(i2=-1)为复随机变量。

随机变量的独立性 独立性是概率论所独有的一个重要概念。设x1进道终轮须担顺音钟束学,x2,…，xn是n个随机变量，如果对任何n个实数x1,x2,…，xn都有 即它们的联合分布函数  F.(  x.1,  x.2,…，  x.n)等于它们各自  倍谁里控色行水屋言工从.的分布函数  F.1(  x.1),  F.2(  x.2),…，  F.n(  x.n)的乘积，即

则称  x.1，  x.2,…，  x.n是独立的。这一定义可以直接推广到每一  x.k(  k.=1,2,…，  n.)找职干机社家深片盐儿法是随机向量的情形。独立性的直观意义是:  x.1,  x.2,…，  x.n中的任何一个取值的概率规律，并不随其中的其他随机变量取什么值而改变。在实际问题中通常用它来表征多个独立操作的随机试验结果或多种有独立来源的随跑刑右格源殖婷演机因素的概率特性，因此它对于概率统计的应用是十分重要的。

从随机变量(或向量)  x.1，  x.2,…，  x.n的独立性还可以推出:设  B.k是  x.k取值的空间中的任意波莱尔集，  k.=1,2,…，  n.，则有

公式设  x.1,  x.2,…，  x.n是独立的，则它们  解夫.中的任意个都是独立的。但逆之即使其中任何  n.-1个是独立的，也不保证  x.1,  x.2,…，  x.n是独立的。又如果  ƒ.j(  x.),  i.=1,2,…，  n.,是  n.个连续函数或初等函数(或更一般的波莱尔可测函数)，则从  x.1,  x.2,…，  x.n的独立性可推出  ƒ.1(  x.1)，  ƒ.2(  x.2),…，  ƒ.n(  x.n)也独立。如果随机变量(随机向量)序列  x.1,  x.2,…，  x.n,…中任何有限个都独立，则称之为独立随机变量(随机向量)序列。

关于随机变量的矩、特征函数、母函数及半不变量，分别见数学期望、方差、矩及概率分布。