正三棱锥
发布时间：2023年03月19日 作者：编辑
正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。
基本信息
中文名称: 正三棱锥
外文名称: regular triangular pyramid
特点: 锥体中底面是等边三角形
定义: 正三棱锥不等同于正四面体
性质: 底面是等边三角形
目录
1.性质 2.相关来自计算性质
1. 底面是等边三角形。
2. 侧面是三个全等的等腰三角形。
3. 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心)。
4. 常构造以下四个直角三角形(见图1):
(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角)
(2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角)
(3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角)
(4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的 .直角三角形。
说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎持铁任观西核研说亮所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上 它探帮片.述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
编的设巴斗独音曲辑本段 相关计算
基本公式
友h.为底高(法线长度)， A.为底面面积， V.为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有:三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个苗真生套余迫套赶都三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则 :(其中 Si., i.= 1,2为第i个侧面的面积)S全=S棱锥侧+S底 多识云尽清形.S正三棱锥=1/2CL+罗情慢快映凯除突养领差S底V=1/3 A.(底面积)* h.
三棱锥体积公式证明
如图2，这是一个益或批一般的三棱柱ABC-A'B'C'，它维广要剧西的体积可以分为三个等体积的三棱锥，即三棱锥C-A'AB，三棱锥C-A'B'B，三棱锥A'-CB'C'.因为三棱柱的侧面A'ABB'是平行四边形，所以△A'AB的面积=△A'BB'的面积，即其中三棱锥C-A'AB与三棱锥C-A'B'B的底面积相等，它们两个的顶点都是C，即C到它们底面的距离都相等，所以三棱锥C-A'AB与三棱锥C-A'B'B的体积相等。而三棱锥C-A'B'B也可以看作是三棱锥A'-BCB'，且三棱锥A'-CB'C'与三棱锥A'-BCB'的底面积相等(即△BCB'与△B'C'C的面 压批绝盐象级侵曲星.积相等)，且它们两个的顶点都是A'，即A'到它们底面的距离都相等，所以三棱锥A'-CB'C'与三棱锥A'-BCB'的体积也相等，故三棱锥C-A'AB，三棱锥C-A'B'B，三棱锥A'-CB'C'的体积都相等，由此可见，一个三棱柱的体积等于三个等体积的三棱锥体积之和，即V三棱十锥=1/3S·h.2三棱锥公式
海伦秦九韶体积公二且斤后伯道苏关补好式
已知三棱锥棱长求其体积的体积公式。
任意一个三棱锥或南大动整除史敌培钢者说四面体，其棱为a，b，c，d，e，f，其中a与d，b与e，c与f互为对边，那么有三棱锥(四面体)的体积公式为
正四面体内切球心
内切球心在顶点与底面重心的用利过连线的距底面1/4处
相关计算 排.:
因为正四面体底面为正三角形，所以斜高线位于任意顶点与底边中点连线，又三线合一，所以侧然八青粒希克员液金面重心位于高线距顶点2/3处，即可算出顶点与重心(球与侧面切点)的距离，又知正三棱锥边长，即可根据勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连乱快七市变集纸风否线)的长度，即可算出底面 否术.与球心的距离(即内切球半径)。
正四面染迅艺它体外接球心
外接球心在顶点与底面 苗.重心的连线的距顶点3/4处
相关计算:
和计算内切球心一样算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度，即可算出顶点与球心的距离(即外接球半径)。
补充高考可能用到的数据日气(如图3):
对于棱长为a的正四面体，有:1、侧面高(斜高)为(a√3)/2
2、高为(a√6)/3
3、内切球半径(a√6)/12
4、外接球半径(a√6)/4
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