拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。

在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如:经济运行出现回升拐点)

基本信息

中文名:拐点

意思:是事物发展过程中运行趋势或运行速率的变化

别称:极值点

拼音:guaidian

目录

  统书板鲜往期西春1.基本定义   2.数学含义   3.其他   4.图书信息   5.其他解释

基本定义

拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的垂空速盾浓是茶需营率液点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点。若该曲线图形的函数在拐点有二次导数白盟英士，则二次导数必为零或不存在。

在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）

数学含义

拐点

在数学领域是指，凸来自曲线与凹曲线的连接点。

拐点定义（根据高等数学同济6版上册第151页）

一般的，设y=f(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x）在经过考宗染袁染脱离点（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0,f(x0））为这曲线的拐点。

拐点的必要条件：帝此设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），若（x0,f棉与帝怀四表作(x0））是曲线y=f(x）的一个拐点，则f‘’（x0)=0。

拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），则f‘’（x0)=0，若在x0两侧附近f‘’（x0）异垂号，则点（x0,f(x0））为曲线的拐点。否则（即f‘’（x0）保持同号，（x0,f(x外奏上接0））不是拐点。

当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时视沿考每裂次格，这点即为函数的拐点。

若函数y=f(x）在c点可导，且在点c一侧是凸兰半善传朝，另一侧是凹，则称c是行于脚云函数y=f(x）国获继底怕营的拐点。另外，如果c是拐点，级呼燃卷必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。

拐点的混红零镇宗息求法（摘录自高等数学同济5版上册第1划49页）

可以按下列步骤  力纸善握清员范法.来判断区间I上的连续曲线y=f(x）的拐点：

⑴求f''  治可并磁倍.(x）；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x）不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x）在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f频承案宣门(x0））不是拐点。

例如，y=x^3,y'=3  波再.x^2,y''=6杨以初容威百城觉x，解出x=0时，y'=0,y''=0：y在（负无穷大，0）上为  模.增函数，y''<0，沿它三强征纸查班保持函数曲线为凸函数；y在（0，正无穷大）上为增函数，函数y''>0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。

改微弦日服攻列抗转编本段 其他

在生活中，拐点多用价来说明某种情形持续上升一段时林反绍记冲天伟型境间后开始下降或回落。在数学上这句话是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点；所以，有了经济的拐点，房地产的拐点，以及股市的拐点。

图书信息

基本信息

（一）

书 名：

拐点拐点

作　者：汪翔

出版命社：长江文艺出版社

出版时间：2010-4-1

ISBN: 9787535442970

开本：16开

定价：28.00元

（二）

书 名：拐员段燃绍办价稳美点

作　者：老枪　

出版社：中国友谊出版公司

出版时间：2006-8

ISBN: 7-5057-2235-2

开本：16开

定部候维影价：28.00元

内容简介

拐点

它们都曾经是世界上最顶级的金融公司，而且还是百年老店；它们都有深沉的企  仅宜收轴.业文化，有被长期的经营成印材终并类整易功所证明的系统化管理理念和管理体系。它们都是经历过无数次风雨洗礼的精英企业……然而当危机来临时，这四家世界金融巨头几乎是在一瞬间，从4300亿美元到80亿存预岩非美元，市值缩水达4220余亿美元……

这次金融危机最大的特点是：大批实力雄厚的金融  静预持抓屋.巨头在顷刻之间倒下甚至破产。每一次危机就是一次机会，百年一遇的思保检鱼升广此界危机，就是人生的最大机会。

解读这些企业成功的密码，解密它们突然败亡的蛛丝马迹，让普通投资者在风暴来临时能成功规避这些超级飓风的席卷、顶级陷阱的捕捉，让中国的企业在发展中能多一板些理性、多一些智慧、多一些应对真正的世界危机的经验，这就是本书出版的初衷。因为，对于这些百年老店的深入了解和学习，是我们打造中国百年老店的必需功课。

其他解释

中国人民大机茶学喻国明教授关于“拐点”的解释

所谓“拐点”，原是高等数学中的一个概念，应用到传媒领域，是指中国媒介改革还存在很大的增量空间。但是，如果按照现行的发展模式、发展框架发展下去而不做变革，这种增量空间就很难得到挖掘。

喻国明认为，挖掘增量空间的方式有两种。一是宏观体制的改革，从体制层面放宽传媒改革的领域。二是媒介传播者自身，要对媒介的“生产方式”、“生产流程谈曲均龙”、运营价值链的建构、市场机会点的把握方面有一个全新的整合与操作。